题目描述了张老师的生日可能落在哪一天，小明和小强关于这个生日的日期进行了一场有趣的对话。让我们一步步解开这个谜团。
我们知道小明知道月份，而小强知道日期。从对话中我们可以提取关键信息：
小明说：“如果我不知道，那么小强肯定也不知道。”这句话意味着他们所知道的月份或日期不足以让他们确定具体的生日。唯一可能的月份应该是那些包含多个相同日期的月份。于是我们可以先排除掉只有唯一日期的月份。我们发现六月和十二月由于只出现了特定日期的日期（比如六月的七月），因此不符合这个条件。于是，剩下的候选月份只剩下三月和九月了。在这两个月份里，生日日期有多个选择。
接着，小强说：“本来我不知道，但现在知道了。”这说明他所听到的月份对应的日期是唯一的，因此他能够确定具体的日期。如果考虑到三月有多个可能的日期（比如三月五日），那么小强就无法确定具体的日期。因此我们可以推断出小强的信息指向的日期应该是在剩下的日期中唯一的日期。这样我们就排除了三月五日等重复出现的日期，剩下的候选日期为九月一日、三月四日和三月八日。小强所听到的月份应该是九月或者三月。但是如果是九月的话，小强的信息就会是唯一的，那么他就可以直接确定生日日期而无需再询问小明，这就和他所表达的内容矛盾了。所以小强所听到的月份只能是三月。于是他知道了生日的具体日期是一号、或者八号中的一个。但是九月的一号是他唯一知道的日期，所以张老师的生日是九月一日。小明的最后一条信息也证实了他的推断是正确的：“现在我也知道了。”这证明了他已经确定了张老师的生日是九月一日这个唯一的可能性。因此答案揭晓了：张老师的生日是九月一日。